Media (statistica)

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In statistica la media è un insieme di indicatori di posizione, anche se spesso con questo termine si intende la media aritmetica.

Le principali medie sono

  • la media aritmetica
  • la media geometrica
  • la media armonica
  • la media di potenza

le quali a loro volta possono essere

  • semplici
  • ponderate

La mediana e la moda sono altri indici di posizione.

Nella lingua italiana, in statistica, spesso viene chiamata media (intendendo implicitamente "aritmetica") ciò che realmente si chiama Valore atteso, in quanto vengono calcolati nello stesso modo, ma hanno significati teorici differenti: per taluni la media aritmetica viene applicata soltanto nella statistica descrittiva e il valore atteso nell'ambito della probabilità e delle variabili casuali in particolare.

Indice

Media aritmetica

Media aritmetica semplice

La media aritmetica semplice è la media così come viene intesa comunemente. Viene usata per riassumere con un solo numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una popolazione). Si chiama media aritmetica di più dati statistici tra la media e i dati stessi.

Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi con il numero complessivo di valori.

Formule

La formula della media aritmetica semplice n\,\! è:

x_m = \frac{x_1+x_2+x_3 + ... + x_n}{N}

ovvero, utilizzano il simbolo della sommatoria:

\overline x = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N}

Caratteristiche

La media, come tutti gli indici di posizione, ci dice all'incirca l'ordine di grandezza (la posizione sulla scala dei numeri, appunto) dei valori esistenti.

In particolare dice che: se abbiamo N valori, con media Ma, allora per conoscere la somma di tutti questi valori è sufficiente moltiplicare N con Ma. Ci permette così di avere un'idea della quantità complessiva conoscendo soltanto il valore medio e quanti valori ci sono.

Che si tratti di un indicatore di posizione lo si verifica facilmente, in quanto se aggiungiamo a tutti i valori una stessa quantità allora la media è anch'essa aumentata di quella stessa quantità. Inoltre, se moltiplichiamo tutti i valori con un determinato numero, allora anche la media aritmetica viene moltiplicata con tale numero.

Esempi

Problema:

  • Abbiamo cinque bambini: Alessandro, Beatrice, Carmelo, Davide e Esmeralda.
  • Alessandro ha 5 cioccolate, Beatrice e Davide una sola, mentre Carmelo ed Esmeralda hanno ciascuno due cioccolate.

Mediamente, quante cioccolate hanno i cinque bambini? .

Soluzione: I 5 bambini hanno (in ordine alfabetico) 5, 1, 2, 1 e 2 cioccolate. Dunque:

media = (5 + 1 + 2 + 1 + 2) / 5 = 11 / 5 = 2,2

Perciò possiamo dire che mediamente i cinque bambini hanno 2,2 cioccolate ciascuno e messi insieme ne hanno 11.

È vero che in realtà nessuno dei cinque bambini ha 2,2 cioccolate: o ne hanno di più o ne hanno di meno. Scopriamo però che se anche Monica, Nando, Ottavio e Pinuccia hanno mediamente 2,5 cioccolate a testa, allora il primo gruppo di bambini ha complessivamente più cioccolate del secondo.

Infatti 2,5·4 = 10 è più piccolo di 11.

Altro esempio: Abbiamo 5 sacchetti di castagne che pesano mediamente 200 grammi. Moltiplicando 200 g con 5, otteniamo che stiamo tenendo in mano un chilo di castagne. Non sappiamo però se tutti i sacchetti sono di circa 200 g. Potrebbe anche darsi che ce ne sia uno da mezzo chilo, uno da due etti e tre da un etto. Non lo possiamo sapere conoscendo soltanto la media.

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media aritmetica semplice nel seguente modo:

x <- c(5,1,2,1,2)
N <- length(x)
Ma <-  sum(x) / N
print(Ma)           # risultato: 2,2

oppure, approfittando di R:

x <- c(5,1,2,1,2) 
Ma <- mean(x)
print(Ma)           # risultato: 2,2

Per verificare che possiamo aggiungere o moltiplicare valori costanti, continuiamo i due esempi:

print(mean(x+100))  # risultato: 102,2 
print(mean(x*100))  # risultato: 220

Media aritmetica ponderata

Nella media ponderata (media pesata), i singoli valori, prima di essere sommati vengono moltiplicati con il peso (ponderazione) a loro assegnato. Il peso di ciascun valore è in genere rappresentato dal numero di volte in cui i valori figurano (frequenza), ma può significare anche l'importanza (oggettiva o soggettiva) che il singolo valore riveste nella distribuzione. La divisione di conseguenza non viene fatta con il numero di valori, ma con la somma dei pesi.

Formula e calcoli

La formula generale è

M_{a,pond}=\frac{\sum_i x_i \cdot f_i}{\sum_i f_i}

dove fi è il peso assegnato al valore identificato con i

Esempio

Riprendendo l'esempio dei bambini con le cioccolate di cui sopra:

  • È abitudine, quando si fanno i calcoli a mano, di prepararsi una piccola tabella:
5 11

Dove: xi rappresenta il numero di cioccolate; fi è il peso rappresentato del numero di bambini che posseggono un egual numero di cioccolate.

Ricaviamo dalla tabella che:

∑ xi·fi = 11

e

∑ fi = 5

cosicché la media aritmetica ponderata è pari a 11/5=2,2.

Il fatto che si ottenga lo stesso risultato dell'esercizio precedente non è un caso, in quanto la media ponderata viene usata spesso dopo aver raggruppato tutti i valori trovati in giro, in quanto ci sono meno calcoli da fare, ovvero la stessa tabella riassuntiva può essere riciclata per disegnare istogrammi.

Una media ponderata è una combinazione convessa dei valori.

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media aritmetica ponderata nel seguente modo:

x <- c(1,2,5)
f <- c(2,2,1)
Ma.pond <- sum(x*f) / sum(f)
print(Ma.pond)

oppure usando le funzioni specifiche di R:

x <- c(1,2,5)
f <- c(2,2,1)
Ma.pond <-  weighted.mean(x,f)
print(Ma.pond)

Media ponderata con la varianza

Per calcolare la media ponderata di una serie di dati di cui ogni elemento x_i\,\! proviene da una differente distribuzione di probabilità con una varianza {\sigma_i}^2\, nota, una possibile scelta per i pesi è data da:

w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}.

La media ponderata in questo caso è:

\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i/{\sigma_i}^2}{\sum_{i=1}^n 1/{\sigma_i}^2},

e la varianza della media ponderata è:

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{ 1 }{\sum_{i=1}^n 1/{\sigma_i}^2},

che si riduce a \sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{ {\sigma_0}^2 }{n} quando tutti i \sigma_i = \sigma_0\,.

Il significato di questa scelta è che questa media pesata è lo stimatore di massima verosimiglianza della media delle distribuzioni di probabilità nell'ipotesi che esse siano indipendenti e normalmente distribuite con la stessa media.

Media geometrica

La media geometrica (semplice) è l'N-esima radice del prodotto di tutti gli N valori.

La media geometrica viene usata soprattutto quando i diversi valori vengono per loro natura moltiplicati tra di loro e non sommati. Esempio tipico sono i tassi di crescita (anche i tassi d'interesse o i tassi d'inflazione), adeguatamente modificati.

In questi casi è più corretto usare questo tipo di media al posto di quella aritmetica, perché ha caratteristiche utili in quelle situazioni.

Caratteristiche e limiti

Il principale limite è che non si possono usare valori negativi. Una caratteristica è che valori piccoli (rispetto alla media aritmetica) sono molto più importanti che valori grandi. In particolare, è sufficiente la presenza di un unico valore nullo, per rendere nulla la media, sia quella semplice che quella ponderata. Va ancora notato che la media geometrica non è altro che la "media di potenza" quando s tende a zero

Media geometrica semplice

Formula

In formula si può definire la media geometrica M_g\,\! come:

M_g = \sqrt[N]{\prod_{i=1}^Nx_i} = \left(\prod_{i=1}^Nx_i \right)^{\frac{1}{N}}

Esempi

Negli ultimi cinque anni sono stati rilevati i seguenti tassi d'inflazione: 3,2% per il 1997, 2,7% (1998), 2,8% (1999), 2,2% (2000) e 3,2% (2001).

Trattandosi di valori relativi e percentuali, li trasformiamo anzitutto dividendo con 100 e poi sommando loro 1. Otteniamo così per gli ultimi cinque anni dei fattori di moltiplicazione pari a: 1,032 1,027 1,028 1,022 1,032.

Moltiplicando tra di loro questi cinque valori otteniamo

∏xi = 1,149142

Estraendo la radice quinta, si ottiene

Mg = 5√1,149142 = 1,028193

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media geometrica semplice nel seguente modo:

x <- c(1.032, 1.027, 1.028, 1.022, 1.032)
N <- 5
Mg <- prod(x)^(1/N)
print(Mg)

oppure, usando direttamente i dati sull'inflazione:

x <- c(3.2, 2.7, 2.8, 2.2, 3.2)
N <- 5
Mg <- prod(x/100 + 1)^(1/N)
print((Mg-1)*100)

Media geometrica ponderata

\ M_{g,pond} = \sqrt[\left(\sum_{i}f_i\right)]{\prod_{i}x_i^{f_i}}

Media armonica

La media armonica M_h\,\! è il reciproco della media aritmetica dei reciproci.

M_h = \frac {N} {\sum_{i=1}^N \frac{1} {x_i}}

Particolarmente utile per qualche tipo di variabili come ad esempio per calcolare la velocità media lungo un percorso.

È vietato usare valori nulli per ovvi motivi, mentre sono leciti valori negativi.

Valori (sia positivi che negativi) vicini allo zero, sono molto più importanti di valori grandi. Infatti se in autostrada percorriamo metà del percorso a 120 km/h, e l'altra metà a 10 km/h, la velocità media complessiva è molto più vicina a 10 che a 120.

Esempi

Sia il tratto A che il tratto B sono lunghi 120 km. Percorrendo il primo tratto a 120 km/h impieghiamo 1 ora, per fare il secondo tratto a 10 km/h impieghiamo 12 ore. Complessivamente impieghiamo 13 ore, percorrendo così l'intero percorso ad una media di 240km/13h = 18,46 km/h.

Utilizzano la media armonica otteniamo lo stesso risultato:

Mh = 2 / (1/120 + 1/10) 
   = 2 / (0,00833 + 0,1) 
   = 2 / 0,10833 
   = 18,46

Facendosi aiutare da un software

Usando il pacchetto statistico R, si può calcolare la media armonica semplice nel seguente modo:

v <- c(120,10)
Mh <- 1 / mean(1/v)
print(Mh)

Media di potenza

La media di potenza di ordine s M^{(s)}\,\! è la radice s-ma della media aritmetica delle potenze di esponente s dei valori

M^{(s)} = \left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i^s\right)^{1/s}

La media aritmetica e la media armonica sono casi particolari della media di potenza. La media aritmetica si ottiene ponendo, nella precedente formula, s = 1 mentre la media armonica si ottiene ponendo s = -1.

La media geometrica, invece, è il limite a cui tende la media di potenza quando s tende a zero.

Definizione integrale

Una generalizzazione del concetto di media a distribuzioni continue prevede l'uso di integrali. Supponiamo di avere una funzione f: [a,b]\rightarrow \Bbb{R}, integrabile. Allora si può definire la media \mu\! come:

\mu = \frac{1}{b-a}\int_{a}^b f(x)dx.

Più in generale data una funzione f: \Omega \rightarrow \Bbb{R} dove \Omega\,\! è un insieme sul quale è definita una funzione di integrazione, si definisce la media \mu\,\! come:

\mu =\frac{\int_\Omega f(x) dx}{\int_\Omega dx}.

Media Temporale

La media di temporale, spesso usata nella trattazione di segnali, è chiamata componente continua. Si tratta della media integrale calcolata in un intervallo di tempo tendente all'infinito.

<x(t)>_{(t_2,t_1)} = \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t1}^t2 x(t)dt.

per: t_2 - t_1 = T_0 \rightarrow \infty


Voci correlate

Collegamenti esterni

  • Calcolo della media pesata - Sito italiano che permette di eseguire online il calcolo della media, anche pesata, di una serie di dati.
Statistica
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Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Media_(statistica)"

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