Campo magnetico

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Spettro magnetico (ovvero l'insieme delle linee di campo) dovuto ad un magnete, reso visibile da un po' di limatura di ferro su un foglio di carta

Un campo magnetico è un campo vettoriale: associa, cioè, ad ogni punto nello spazio un vettore che può variare nel tempo. L'effetto fisico di un campo magnetico si esplica in termini della forza di Lorentz subita da una carica elettrica in movimento attraverso, appunto, il campo. Sorgenti del campo magnetico sono correnti elettriche.

Storicamente gli effetti magnetici vengono scoperti grazie a magneti naturali che, allo stesso tempo, generano un campo magnetico e ne subiscono gli effetti per via delle correnti elettriche su scala atomica.

La direzione del vettore campo è la direzione indicata dalla posizione d'equilibrio dell'ago di una bussola immersa nel campo. Il verso del vettore campo si determina con la regola della presa della mano destra.

Il campo magnetico, solitamente indicato con il vettore B, storicamente era la densità di flusso magnetico o induzione magnetica, e H (=B/μ) era il campo magnetico: questa terminologia è oggi utilizzata per distinguere tra il campo magnetico nel vuoto (B) e quello in un materiale (H, con μ diversa dall'unità). L'unità di misura dell'induzione magnetica nel SI è il tesla.

Lo strumento per la misura del campo magnetico è il magnetometro.

Indice

1 Campo magnetostatico nel vuoto
2 Proprietà del campo magnetostatico
3 Equazioni di Maxwell per il campo magnetostatico nel vuoto
4 Altre considerazioni
5 Voci correlate

Campo magnetostatico nel vuoto

Lo spettro magnetico prodotto da un circuito di forma qualsiasi

Per approfondire, vedi la voce Magnetizzazione nella materia.

Forza di un campo magnetico su un circuito

La forza di Lorentz costituisce l'effetto del campo magnetico su corpi carichi in movimento:

$\vec F = q \vec v \times \vec B$

dove × indica il prodotto vettoriale, q è la carica elettrica, e v la velocità della carica. La sua generalizzazione al caso di un circuito filiforme di lunghezza l è dunque:

$\vec F = I \int_l d\vec l \times \vec B$

Proprio perchè la forza magnetica (forza di Lorentz) è legata al campo magnetico tramite il prodotto vettoriale, la forza e il campo non hanno la stessa direzione, come invece accade per il campo elettrico e per la forza elettrica che sono vettori paralleli, ma addirittura sono perpendicolari. E' pertanto improprio nel magnetismo parlare di linee di forza intendendo linee di campo; tale ambiguità non ha ragione di esistere invece nel caso del campo elettrico, dove è possibile parlare di linee di campo e di forza indistintamente. Nel magnetismo si parlerà, dunque, di linee di forza per indicare la direzione della forza di Lorentz e di linee di campo per indicare la direzione del campo magnetico.

Il lavoro del campo magnetico

Il campo magnetico non compie lavoro, come conseguenza dell'espressione vista sopra della forza di Lorentz, per cui tale forza è sempre perpendicolare alla traiettoria. Dimostriamo matematicamente che il lavoro compiuto dal campo magnetico è nullo:

$L = \int_1^2 q \vec v \times \vec B \cdot d\vec s = q \int_{t_1}^{t_2} \left( \vec v \times \vec B \cdot \vec v \right) dt = 0$

L'ultimo integrando è nullo perché è il prodotto misto di tre vettori, di cui due paralleli.

Campo magnetico generato da un circuito

Dato un circuito filiforme, il campo magnetico risultante nel generico punto P(x,y,z) sarà la somma di tutti i contributi al campo di ogni tratto di filo $d\vec l'$ :

$d\vec B_0 (x,y,z) = \frac {\mu_0}{4\pi} I \frac {d\vec l' \times \Delta \vec r}{|\Delta \vec r|^2}$

dove $μ 0$ è detta permeabilità magnetica nel vuoto ed è uguale a:

$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \, \left [\frac {V\cdot s}{m \cdot A} \right] = 4\pi \cdot 10^{-7} \, \left [\frac {\Omega \cdot s}{m } \right]$ .

Il campo magnetostatico nel vuoto è dato dunque dalla cosiddetta Prima formula di Laplace o Legge di Biot-Savart:

$\vec B_0 (x,y,z) = \frac {\mu_0}{4\pi} I \int_l' \frac {d\vec l' \times \Delta \vec r}{|\Delta \vec r|^2}$

Nel caso più generale in cui l'approssimazione di circuito filiforme non possa essere applicata, si può ricorrere alla densità di corrente $\vec J$ :

$I = \int_{A'} \vec J(\vec r') \cdot d\vec A'$

dove A' è la sezione del conduttore nel punto $\vec r'$ del conduttore. L'espressione del campo magnetostatico diventa dunque:

$\vec B_0 (x,y,z) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\vec J(\vec r') \times \Delta \vec r}{|\Delta \vec r|^2} \, dV'$

dove $V'$ è il volume del conduttore nel punto $\vec r'$ di lunghezza $d\vec l'$ e sezione $d\vec A'$ .

Per approfondire, vedi la voce Esempi di campo magnetico.

Proprietà del campo magnetostatico

Come per il campo elettrostatico possiamo trovare una proprietà differenziale del campo magnetostatico utilizzando il teorema della divergenza e una corrispondente proprietà integrale utilizzando il teorema del flusso di Gauss. Il flusso attraverso qualsiasi superficie S che circonda il circuito è dato da:

$\Phi_S (\vec B_0) = \int_S \vec B_0 \cdot \vec n \cdot dS = \int_V \vec \nabla \cdot \vec B_0 \cdot dV$

dove $V$ è il volume della superficie generica S. A differenza di quanto accade per il campo elettrostatico, non è mai stata osservata una particella che si comporti come un monopolo magnetico, dunque il flusso di B è nullo. Essendo l'integrale calcolato su una superficie arbitraria segue che la divergenza di B è nulla:

$\vec \nabla \cdot \vec B_0 = 0$

ovvero, come si suol dire, il campo magnetico è un campo solenoidale.

Inoltre il campo magnetostatico non è conservativo e quindi non è irrotazionale cioè il suo rotore non è nullo ovunque. Per dimostrarlo si fa uso della Legge di Ampere:

$\oint_{C}\vec {B_0} \cdot d \vec {s} = \mu_0 I$

In forma differenziale questa equivale: ( applicando il teorema di stokes )

$\vec \nabla \times \vec B_0 = \mu_0 \cdot J$

Il fatto che non sia conservativo ci dice che non è possibile definire un potenziale scalare. Tuttavia si può definire un potenziale vettore A detto anche potenziale magnetico tale che:

$\vec \nabla \times \vec A = \vec B$

Equazioni di Maxwell per il campo magnetostatico nel vuoto

Dalle proprietà del campo magnetostatico si deducono le Equazioni di Maxwell per il campo magnetico nel vuoto. L'espressione più semplice che descrive come si producono campi magnetici fa uso del calcolo vettoriale. Nel vuoto:

II) $\vec \nabla \cdot \vec B = 0$

IV) $\vec \nabla \times \vec B = \mu_0 \vec J$

dove $\vec \nabla \times$ indica il rotore, $\vec \nabla \cdot$ indica la divergenza e $\vec J$ indica il vettore densità di corrente. La seconda equazione di Maxwell nel vuoto deriva dal Teorema del flusso di Gauss, la quarta deriva dalla legge di Ampere. Queste valgono solo nel caso stazionario e sono successivamente state corrette da Maxwell, nell'unificare la teoria dell'elettromagnetismo.

Altre considerazioni

Maxwell si è impegnato molto per riunire elettricità e magnetismo, producendo un sistema di quattro equazioni che collegavano i due campi. Comunque, secondo la formulazione di Maxwell, si usavano ancora due campi distinti per descrivere fenomeni differenti. Fu Albert Einstein a mostrare, con la relatività ristretta e la relatività generale, che i campi magnetico ed elettrico sono due aspetti dello stesso fenomeno (un tensore a due dimensioni), e che un osservatore può percepire una forza magnetica mentre un osservatore in movimento ne percepisce una elettrostatica. Così, con la relatività, le forze magnetiche possono essere previste con la conoscenza delle sole forze elettrostatiche.

Tecnicamente, il campo magnetico non è un vettore secondo la definizione convenzionale; è, infatti, uno pseudovettore, ovvero cambia di segno se il sistema di coordinate subisce una rotazione impropria: questa distinzione è importante quando si usa la simmetria per analizzare un problema sui campi magnetici. Questo è una conseguenza del fatto che, nella legge di Lorentz, B è legato a due vettori da un prodotto vettoriale.

Voci correlate

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Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_magnetico"

Categorie: Teoria di campo | Magnetismo

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